Números Reais

Criando números com a Geometria

A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias, hoje em dia representadas na forma q/p , com p e q representando números inteiros positivos e q ≠ 0.

Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e q tais que a = pu e b = qu, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada. Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que  não é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa. Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo. Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico. Vale notar que muitos consideram que tal enfoque geométrico sobre os números tenha desviado os gregos do desenvolvimento do cálculo numérico alcançado anteriormente no Oriente.

Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas contínuas.

Fonte: MOUTINHO, Ion.  Tópicos de Álgebra – Material de estudo do curso de especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: UFF, 2010. p. 2.

Probabilidade

Aplicação:

Em pesquisas eleitorais, por exemplo, é freqüente a necessidade do conhecimento do tamanho da amostra n que deve ser utilizada para que a margem de erro seja de, por exemplo, 2 pontos percentuais. Para tanto, basta considerar a pior situação possível (quando p = q = 0,5). Por exemplo, utilizando um coeficiente de confiança de 95%, o valor de Z_0,475 é igual a 1,96. Estipulando a margem de erro como sendo 2%, então:

Ou seja, seria necessário entrevistar 2401 eleitores para uma pesquisa eleitoral com margem de erro igual a 2%. Em geral, na divulgação dessas pesquisas, não se menciona o coeficiente de confiança, o que deveria ser feito.

Fonte: BEARZOTI, Eduardo, BUENO FILHO, Júlio Sílvio de Sousa. Introdução à inferência estatística –  Material de estudo do curso de especialização em Matemática e Estatística. Lavras: UFLA/FAEPE, 2000. p. 105 - 106.

Conceito de calor

Aristóteles (384-322 a.C.) partiu de dois pares de quantidades opostas, quente/frio e seco/úmido, para compor os quatro elementos de que a matéria é constituída:

A terra: frio e seco

O ar: quente e úmido

A água: fria e úmida

O fogo: quente e seco

Becher (1635-1682) retira o fogo dentre os elementos e admite três tipos de terra: a terra vitrificável que daria corpo as substâncias, a terra untuosa que daria cor e a terra mercurial, ou fluida, provendo densidade e brilho.

Stahl (1660-1734), aluno de Becher, desenvolveu essa teoria e identificou a terra untuosa, oleosa, à propriedade de combustão dos corpos, chamando-a de flogístico. Assim todo corpo capaz de experimentas combustão contém flogístico e quando o corpo queima o flogístico escapa para o ar.

Contudo, as experiências indicavam que certas substâncias, ao serem aquecidas perdiam peso (madeira em cinzas), enquanto outras tornavam-se mais pesadas (metal na suas cinzas), e a teoria dizia que a combustão implicava na perda de flogístico.

O flogístico dominou até sua refutação por Lavoisier (1743-1794) que publicou, nas Memórias da Academia de Ciência de Paris de 1786, depois de muitas e cuidadosas experiências, medindo as massas das substâncias envolvidas, que a combustão  é a combinação do oxigênio com a substância combustível.

Lavoisier fundou a Química Moderna em 1789, com a publicação de seu livro “Tratado Elementar da Química”, estabelecendo a Lei de Conservação das Massas, definindo claramente o que entenderia por elemento químico e fornecendo a primeira tabela dos elementos, entre os quais incluiu o calórico.

Para dar conta do fenômeno que quando dois corpos, um quente e um frio, são postos em contato e um se esfria e outro se aquece até não se poder distinguir se um está mais quente, ou mais frio, do que o outro, fez-se analogia com o escoamento da água.

Esta teoria é aceita pela grande maioria da comunidade cientifica da época. No entanto. Desde o inicio do século XVIII, alguns cientistas começam a manifestar a sua discordância com a teoria, pois entendem que a mesma não explica, de modo satisfatório, certos fenômenos como, por exemplo, a produção de calor quando se atritam dois corpos.

Neste ponto, encontramos Benjamin Thompson (1753-1814), conde Rumford, personagem meio aventureiro meio cientista, que ao fabricar canhões para a defesa da cidade de Munique, fazendo perfurar um cilindro rodando em volta do eixo do torno, contra uma broca estacionária, observou que muito calor era gerado, obrigando que tudo fosse mergulhado em água.

Segundo a teoria do calórico, os canhões de Rumford aqueciam-se porque o material era despedaçado pelas brocas, expelindo o fluido térmico. Cético, o conde pediu a seus empregados que utilizassem uma broca completamente espanada.

O calor produzido era ainda maior, medindo a quantidade de calor liberada em algumas horas, pelo aquecimento de uma amostra de água, Rumford mostrou que se o canhão contivesse tal quantidade de calórico certamente fundiria.

A única saída encontrada por Rumford foi imaginar que o calor não era um fluido, mas sim uma forma de movimento.

Porém a identificação definitiva de calor com energia foi feita pelo físico inglês James Prescott Joule (1818-1889), que estabeleceu inclusive a equivalência entre as duas quantidades.

É importante frisar que o termo calor só pode ser usado para indicar a energia térmica em trânsito, isto é, a energia térmica que está se transferindo em virtude de uma diferença de temperatura.

Portanto, atualmente, o calor é a energia térmica que se transfere entre corpos a diferentes temperaturas.

 Fonte: MACHADO, Waldmir Guedes. Física térmica. v. 1. Goiânia: UCG/UEG/UFG, 2008. p. 147 – 207.

Logaritmo

      Napier (ou Neper) construiu suas tábuas de logaritmos e publicou um tratado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos). Ele trabalhou durante vinte anos antes de publicá-las.

     Posteriormente Henry Briggs (1561-1631) foi visitar Napier e sugeriu o uso de potências de dez.

    A obra de Napier envolvia de uma forma não explícita o número e, um dos mais importantes números em Matemática.

   A ideia central de Napier sobre os logaritmos partiu da comparação entre dois pontos em movimento, um dos quais gera uma progressão aritmética e o outro uma  geométrica, convenientemente escolhidas. Ou seja, a ideia básica era obter o resultado de uma multiplicação através de uma operação mais fácil, a adição.

Vejamos tal procedimento.

    Na linha superior estão os expoentes (potências) n, em progressão aritmética, e na inferior o resultado de 2ⁿ, em progressão geométrica. Observando a tabela, se, por exemplo, queremos multiplicar 16 × 64, somamos os respectivos expoentes 4 e 6, obtendo 10. Verificamos em seguida qual o número correspondente ao 10, e chegamos ao resultado 1 024.

   Os números da linha inferior serão usados para multiplicação ou divisão e os números da linha superior representam os logaritmos na base 2 desses números.

   Por exemplo, o logaritmo de 512, na base 2, é 9. Portanto, a ideia é que multiplicar números equivale a somar logaritmos.

   Parece simples, mas não é bem assim.... Por exemplo, se quisermos multiplicar 18 × 73? Observando a tabela teríamos apenas uma aproximação do resultado, pois os números próximos de 18 e 73 são 16 e 64, respectivamente.

   Logaritmo: palavra de origem grega formada de lógos (razão, evolução, discurso) e arithmós  (número). Logaritmo significa, literalmente, a evolução de um número. O símbolo  log, contração de logaritmo, é devido ao astrônomo Kepler.

Fonte: CARDIM, Nancy.  Tópicos de Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio  –  Material de estudo do curso de especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: UFF, 2010. p. 75 - 76.

Aplicações:

Os terremotos são fenômenos de vibração (onda sísmica) brusca e passageira da superfície da Terra. Estas ondas são registradas por sismógrafos que gravam tais vibrações, que registram a intensidade de cada terremoto. A duração, localização e o poder destrutivo de cada terremoto são determinados por estes aparelhos. A função logaritmo modela matematicamente a medida da intensidade dos terremotos.

A quantidade de energia liberada por um abalo sísmico, ou sua magnitude, é medida pela amplitude das ondas emitidas segundo o parâmetro da escala de Richter, que vai de zero a 9 pontos. O terremoto com medida Richter < 3,5, geralmente não é sentido, mas gravado, enquanto que > 8,0 é um enorme terremoto, que pode causar grandes danos em grandes áreas a centenas de quilômetros do epicentro.

 Pela fórmula que a intensidade de um terremoto pode ser conseguida através de

I =2/3 log(E/E₀)

Dados E₀ = 7 × 10^-3 kW/h e I = 8,9

8,9 = 2/3 log (E/7 x 10 ^-3)

13,35 = log (E/7 x 10 ^-3)

10  ^13,35 = E/7 x 10 ^-3

E = 7 x 10 ^-3 x 10  ^13,35

E = 7 x 10 ^10,35

Resposta: A energia liberada por um terremoto de 8,9 graus na escala Richter é de 7 × 10^10,35 kW/h.

    Aproveitando esses cálculos quero comparar a energia liberada por esse terremoto com as bombas atômicas lançadas em Hiroshima e Nagasaki na década de 40.

A bomba lançada em Hiroshima possuía uma potência de 12,5 kiloton (mil toneladas de TNT) e a lançada em Nagasaki possuía uma potência de 22 kiloton.

Convertendo para Joule temos: 1 kiloton = 4,2 x 10¹² J.

Assim:

Hiroshima = 5,25 x 10¹³ J  e Nagasaki = 9,24 x 10¹³ J.

A energia liberada pelo terremoto de 8,9 graus na escala Richter foi de 7 x 10^10,35 kW/h.

Convertendo para Joule : 1 kW/h = 3,6 x 10⁶ J.

Assim temos:

7 x 10^10,35  x 3,6 x 10⁶ J = 2,52 x 10^17,35 J.

Portanto temos que a energia liberada pelo terremoto será igual a:

(2,52 x 10^17,35 J) / (5,25 x 10¹³ J) = 10745 bombas atômicas de Hiroshima

(2,52 x 10^17,35 J) / (9,24 x 10¹³ J) = 6105 bombas atômicas de Nagasaki