Números Reais

Criando números com a Geometria

A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias, hoje em dia representadas na forma q/p , com p e q representando números inteiros positivos e q ≠ 0.

Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e q tais que a = pu e b = qu, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada. Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que  não é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa. Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo. Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico. Vale notar que muitos consideram que tal enfoque geométrico sobre os números tenha desviado os gregos do desenvolvimento do cálculo numérico alcançado anteriormente no Oriente.

Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas contínuas.

Fonte: MOUTINHO, Ion.  Tópicos de Álgebra – Material de estudo do curso de especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: UFF, 2010. p. 2.